信号与系统(一): 相关知识

09月 28日, 2019 信号与系统


本篇会讲一些对信号与系统的直觉理解有帮助的前置知识。

数学中的形式美

我在本科阶段学习信号与系统这门课程时用的教材, 所有的公式上面都带了一个丑陋的系数\(2\pi\), 有时在分母上,有时在分子上, 这给我的记忆带来了很大的负担。 后来思考并重新推导的时候,发觉这是使用了角频率的缘故, 也应了那句“有\(\pi\)出现的地方,一定隐藏着一个圆”。

数学的形式美大概可以分为简单美、对称美、统一美和奇异和谐美四种 \(^{[1]}\)。 在这个系列的流程中,我会尽量去追求数学上的简单对称统一。

对复数的理解

在讨论复数之前先来看看实数。

实数域中,加法可以理解为数轴上的平移操作,将原点平移到原来加数的位置; 而乘法理解为相对于原点的缩放操作,将数字1缩放到原来乘数的位置。 \(2x+3\)就是数轴上的点先远离原点两倍的距离,再向右平移3个单位, 这样数字1就变成了5。(需要gif)

复数域是实数域的扩充,形象的表示也由一维的数轴变为了二维的复平面。 同样的,复数的加法是将原点平移到原来加数的位置; 复数的乘法是将数字1相对与原点旋转缩放到原来乘数的位置。 (可以理解为旋转也是缩放的一种形式?)

\(c=a+bi=\left|A\right|e^{j\theta}\)为例, 一个数与\(c\)相加, 就是向实轴正方向移动\(a\)个单位, 向虚轴正方向移动\(b\)个单位; 与\(c\)相乘, 就是远离原点\(\left|A\right|\)倍, 再相对原点逆时针转动\(\theta\)弧度。 (需要gif) 由此来看,直角坐标形式的复平面更符合复数加法的操作, 极坐标形式的复平面更符合复乘的操作。

在信号与系统的体系中, 更加常用的是复数的极坐标形式。 简单来说就是因为将频率的概念映射到了复数转动速度的上面。

线性代数

从线性代数的角度看待傅里叶变换等问题,有助于加深理解,也能更容易地推导其更一般的形式。

主要用到线性空间、基、坐标、基变换、坐标变换、特征向量等知识。

分解的思想

将对象\(A\)分解为更简单的\(A_1, A_2, \cdots, A_n\)的某种叠加, 使得对\(A\)来说复杂的操作\(f\)可以转化为 对\(A_n\)相对简单的操作再进行叠加,即

\[f(A)=g(A_1)+g(A_2)+\cdots+g(A_n)\]

这里的加法可以看作广义的加操作。如下是一些例子。

复指数信号

信号与系统中随处可见的复指数信号 \(x(t)=Ce^{\alpha t}(C,\alpha \in \mathbb{C})\)\(\alpha=\sigma+j\omega\),则:

\[x(t)=Ce^{(\sigma+j\omega)t}=Ce^{\sigma t}e^{j\omega t}\]

其中\(C\)\(t=0\)时的初始幅度和相位; \(e^{\sigma t}\)相位为\(0\),幅度按照指数规律变化; \(e^{j\omega t}\)绕原点以\(\omega\)的角速度匀速转动。 三者相乘即为幅度相乘、相位相加。 复指数信号对信号与系统中的重要性主要来自两点:

事实上,上面的第二条可以理解为这族函数是 \(\mathbb{C}^\mathbb{R}\)的某个子空间(具体?)上的一组基, 如此一来信号就与线性代数扯上了关系。 因此\(x(t)\)可以由这组基表出, 同时根据LTI系统的线性和第一条中的特征函数的性质, 将\(x(t)\)输入LTI系统得到的输出 便等同于将\(x(t)\)的坐标各自乘上一个系数——坐标变换。 这个过程正好对应了之前“分解的思想”。

本系列中的符号约定

符号 描述
\(T_0\) 周期
\(F_0\) \(F_0=\frac{1}{T_0}\),频点间隔
\(t\) 时间,时域自变量
\(f\) 圆频率,频域自变量
\(t_0\) 常数,表示时间点或时间差
\(f_0\) 常数,表示频点或圆频率差
\(\omega\) \(\omega=2\pi f\),角频率,频域自变量
\(x(t)\) 信号在时域的表示
\(X(f)\) 信号在频域的表示
\(j\) 虚数单位

参考

[1]邓纯江. 论数学形式美的特征[J]. 四川师范大学学报,1998,21(1):97-102.