在使用FFT函数运算时,经常能够看到信号频谱的幅值非常大,而信号在时域中并没有这种数量级的参数,令人疑惑。 本文将结合理论和Matlab实验,说明各种频谱中幅值的实际意义,包含了幅度谱、功率谱在单、双边表示的情况。

本文关注的是一段确定信号的频谱,通常情况下随机信号才会有功率谱(密度)的分析,这里借用了类似的概念,可以将这段确定信号理解为随机信号的一个实例。

对于实信号来说,正负频谱为共轭关系,所以可以用单边谱来进行分析。而复信号的正负频谱没有关系,只能用双边谱表示。

测试信号

为同时说明单、双边谱,我们使用一个实正弦信号作为测试信号。 首先生成测试信号,设置采样率为100Hz,采样点数为1000。 设置正弦信号幅度为1,频率为20Hz。

$$ \begin{aligned} signal & = sin(2\pi * 20 * t) \\ & = \frac{1}{2j}(e^{j*2\pi *20 *t}-e^{-j *2\pi *20 *t}) \end{aligned} $$

Fs = 100;
Ts = 1./Fs;
pointNum = 1000;
t = [0:pointNum-1] .* Ts;
signal = sin(2*pi*20*t);

累积幅度谱

fftAmplitudeCumulation = abs(fftshift(fft(signal)))

对信号求fft,并进行循环移位和频率轴映射,可以得到最简单的一个频谱,我称之为累积幅度谱。 其中每个点的值代表相应频率信号分量的幅度在采样点上的累积,或者说幅度对采样点的积分。 如果一个复指数信号幅度为1,持续了20个采样点,那么取值就是20; 或者信号幅度一直在改变,那么将每个采样点处的幅度累加,就是频谱中的幅值。

在例子中存在两个幅度都是500的峰值, 在测试信号中幅度恒定为1的正弦信号是由两个幅度恒为0.5的正负频率的复指数信号相加得到的, 而采样点数为1000。所以在累积幅度谱中正负20Hz的值应为1000×0.5=500,如图。 双边累积幅度谱

同样,单边累积幅度谱20Hz处的幅值就是20Hz正弦信号的幅度1乘以采样点数1000。 或者说双边谱正频率的两倍,而零频处不变,如图。 单边累积幅度谱

平均幅度谱

fftAmplitudeAverage = fftAmplitudeCumulation ./ pointNum

前面的累积幅度谱是与采样点数相关的,如果一个信号是功率信号,而我想要知道在这段时间中它平均的幅度, 就可以使用平均幅度谱,表示每个频率的基信号在这段时间的幅度。 简单地将累积幅度谱的幅值除以总采样点数,就可以得到平均幅度谱。

测试信号的双边和单边平均幅度谱如下,可以看到恒定的正弦信号的幅值为1,两个复指数信号幅值为0.5。 双边平均幅度谱 单边平均幅度谱

平均功率谱 - 线性

fftPowerAverageLinear = fftAmplitudeAverage .^ 2

由于FFT不能表示信号的变化过程,只能表示一段时间内的平均情况,因此在这里功率和能量是没有区别的。 正弦信号的功率为0.5Watt。 双边平均功率谱-线性 单边平均功率谱-线性

平均功率谱 - 对数

fftPowerAverageLogarithm = 10*log(1000*fftPowerAverageLinear)/log(10)

以dBm表示的信号功率。 双边平均功率谱-对数 单边平均功率谱-对数

其他

  • 将累积幅度谱乘以采样间隔Ts,可以得到信号幅度在时间上的累积值,单位(V*s)。
  • 对整个线性平均功率谱求和可以得到信号的总功率。